1內齒圈齒形曲線方程
在傳統的內齒圈加工方法中，早期是以密切圓代替包絡曲線，由于誤差大，后來提出了范成加工方法。范成加工是根據活齒傳動的運動原理，應用機構轉化理論，演化出形成內齒圈齒形曲線的加工裝置，通常是對普通機床進行改造來獲得內齒圈加工的設備，形成內齒圈齒形的范成運動是靠機床工作臺轉動和刀架往復運動等的合成來實現。由于范成加工采用多個環節的機械傳動方式，在實際生產中難以加工出的齒形曲線。
推桿活齒減速機主要由激波器、內齒圈3個基本構件組成，其中激波器包括輸入軸、偏心套和轉臂軸承，活齒輪包括活齒和輸出架。從推桿活齒減速機的工作原理可以看出，齒形復雜的內齒圈是其關鍵部件。內齒圈齒形是活齒外端高副元素的共軛曲線，運用高副低代理論，可以建立活齒傳動的瞬時等效機構。由此得出外滾子中心軌跡極坐標方程為S=acos（Zk2） b2-a2sin2（Zk2） H.
（1）其中：S外滾子中心極徑；a偏心距；b連桿長，b=R rb；R軸承外圓半徑；rb滾子半徑；H推桿長；Zk內齒圈齒數；1輸入軸Y軸角位移；2滾子Y軸角位移。
外滾子輪廓族的包絡線形成內齒圈曲線，用包絡曲線的通用求法得齒形曲線方程為：X=Ssin-wrb/w2 1，Y=Scos rb/w2 1（2）其中：w=scos-ssinssin scos，s=dsd=-aZksin（Zk）-a2Zksin（2Zk）2b2-a2sin2（Zk）。
由此可知，確定內齒圈齒形曲線的特征參數是偏心距a、軸承外圓半徑R、滾子半徑rb、推桿長H和內齒圈齒數Zk。這5個特征參數確定后，根據以上齒形曲線方程，內齒圈的齒形曲線也就隨之確定。
內齒圈齒形曲線特征參數的確定，傳統方法是根據推桿活齒減速機 的輸入功率P、傳動比I、輸入轉速N和輸出轉向，由經驗公式計算后，定出偏心距a、軸承外圓半徑R、滾子半徑rb、推桿長H和內齒圈齒數Zk5個特征參數。由經驗公式定出的內齒圈齒形曲線特征參數，并不是合理的，即使是合理的，也不是*優的，因而有**對特征參數進行優化調整。
2活齒減速機 特征參數優化
針對推桿活齒減速機容易出現干涉磨損、燒壞報廢的現象，作者提出推桿活齒減速機系統特征參數的優化設計應滿足三方面的優化目標，即：a）*大重合度、b）*小壓力角、c）*佳受力條件，從而使減速機具有*優的傳動性能與動力性能。
2.1*大重合度優化目標的實現
重合度表示傳動機構同時參加嚙合的齒對數，是表達活齒傳動平穩性和承栽能力的傳動性能指標，是受力分析和計算的重要參數。理論上，當齒形曲線完整無缺時，重合度為滾子數的一半，并為*大重合度。
內齒圈齒形曲線理論上是外滾子中心軌跡曲線的等距線，但當外滾子中心軌跡的*小曲率半徑min小于或等于滾子半徑rb時，在齒形曲線的齒頂（曲率半徑*小處），包絡結果就不可能產生等距線，而使齒頂變尖、變短，即出現頂切。當外滾子沿其中心軌跡動動到其齒根點時，，其外包絡線束不在內齒圈齒形上，使滾子與內齒圈瞬時脫開，即同時參加嚙合的齒對數減小，影響了活齒傳動的平穩性和承載能力。因此，不產生頂切的條件是：min！rb，其中min可由外滾子運動的中心軌跡曲線方程求得。由式（1）可得出外滾子中心軌跡曲線的直角坐標方程為：X=[acos（Zk2） b2-a2sin2（Zk2） H]sin2，Y=[acos（Zk2） b2-a2sin2（Zk2） H]cls2。
由微分幾何學可知，其相對曲率為：KrKrmax=b-aZ2kb2-ab，min=1Kymax=b2-abb-aZ2k=（R rb）2-a（R rb）（R rb）-aZ2k；。
由此得出避免頂切的條件為：（R rb）2-a（R rb）（R rb）-aZ2k！rb（3）可見，外滾子中心軌跡的*小曲率半徑min與系統特征參數中的軸承外圓半徑R、滾子半徑rb、偏心距a和內齒圈齒數Zk4個特征參數有關，式（3）是一個多約束條件的關系式。在系統特征參數的優化設計中，式（3）**成立，才能不產生頂切，滿足*大重合度的優化要求。作者經過進一步的分析發現，R，rb、a和Zk4個特征參數中，以Zk對min的影響*大。當產生頂切時，一般Zk>30，此時min 系統特征參數中的Zk是用戶根據機器性能提出的傳動比要求，是確定不變的，軸承外半徑R需滿足強度要求，一般也不變。因此*大重合度優化目標的實現方法是通過改變a和rb去頂切。考慮結構因素，同時減小rb和a的方案比上述兩種方案顯然要恰當些，根據式（3）可找出臨界條件時，rb和a的關系為：a=（R rb）2 （R rb）rb（R rb） rbZ2k由于根據設計標準的要求，rb和a的取值只能是離散減小的，故滿足此條件的rb和a為有限組數，即此時可以獲得多對（rb，a）參數，由于不出現頂切干涉，因此它們都滿足*大重合度的優化要求。
2.3*佳受力條件優化目標的實現在滿足頂切臨界條件的多組（rb，a）中，為減小壓力角提高傳動效率，自然會選擇較大的偏心距a和滾子半徑rb，這時需要考慮的第3個優化目標是使推桿活齒在傳動中受力狀況*佳。
活齒滾子與內齒圈在嚙合過程中是多齒接觸，它們之間的載荷較復雜。推桿活齒在傳動中受3種力的作用：FQ內齒圈作用于推桿活齒的力，其作用方向沿嚙合點的公法線方向；FP激波器作用于推桿活齒的力，其作用方向沿偏心輪與滾子接觸點的法向：F1、F2活齒架徑向導槽作用于推桿活齒的力，其作用方向與徑向導槽移動副的摩擦磨損有關。以推桿活齒為受力對象，為便于分析，將推桿活齒作質點處理，假設零件之間無間隙存在，摩擦力、慣性力、自重忽略不計，可列出如下的力平衡方程X=0，FPsin（ 1） FQsin（？-3）-（F1-F2）=0
Y=0，FPcos（ 1） FQcos（？-3）-（F1 F2）f2=0；
MB=0，F1（LC-LD）-F2（LA LC-LD）=0.
由此可以得出驅動力FP和載荷FQ的關系方程為：FP=Fq[（k-1）cos（？-3） （k 1）F2sin（-3）]（k-1）cos（ ）1-（k 1）f2sin（ 1），k=（LA LC LD）/（LC-LD）。
（5）其中分別為Fp、FQ的工作角；1、2、3分別為激波器與滾子、輸出架與推桿、滾子與內齒圈間的摩擦角；LA、LC、LD分別為推桿活齒外伸長度、活齒導槽長度、推桿活齒所受三力匯交點到推桿活齒外端面的垂直距離；k為表征推桿活齒移動副各部分尺寸關系的尺度系數。
由上式可知，當外載荷FQ時，尺度系數k越大，所需驅動力FP越小，為此在滿足傳動性能要求的前提下，應使尺度系數k盡可能大。由k與LA、LC、LD的關系可知，增大k有三種途徑：減小LA、增大LC和LD。由于增大LC和LD意味著要增大推桿長度H，導致減速機的徑向尺寸增大，這一般不為用戶所接受，故只有減小LA才是可行的。
推桿活齒在工作結束位置和工作開始位置時，推桿活齒外伸長度LA分別具有*大值和*小值，得：LAmax=2a M-rb，LAmin=M-rb其中M為內齒圈齒頂與活齒架外圓間的徑向距離，M一般取12mm，減小LA可至LAmin=0，由此得rb=2a M，于是得出推桿活齒移動副受力*佳條件為rb=2a M.
